速度匹配：免模拟的连续时间动力学系统学习 Learning to evolve by matching velocities
用随机配点回归速度场取代轨迹模拟训练，精度高一个数量级且无求解器偏差
前置知识
轨迹目标与 rollout / 教师强制（TF）训练
学习动力系统时，轨迹目标把模型预测轨迹与真实轨迹的 $L^2$ 偏差作为损失，需要训练中反复用数值积分模拟学到的动力学并通过 BPTT 反传梯度；按展开长度 $L$ 可分为多步 shooting（$L<N_t$）与单步教师强制（$L=1$，每步用真实状态喂入模型预测下一状态）。
本文全部动机与分析都围绕轨迹目标在长 rollout 下的退化（梯度爆炸/消失、损失塌缩到稳定性区域）以及 TF 只有一阶 $O(\Delta t)$ 偏差展开，读懂对比才能理解 VM 的定位。
绝对稳定性区域与稳定性函数 $R(z)$
对测试方程 $\dot{x}=\lambda x$，数值方法一步放大因子记为稳定性函数 $R(z)$（$z=\lambda\Delta t$），如显式 Euler 的 $R(z)=1+z$。绝对稳定性区域 $A_{\Delta t}=\{z:|R(z)|<1\}$ 决定哪些模式的数值解会衰减；区域外的模式会被数值格式人为阻尼或放大。
论文证明了 rollout 损失在长时域极限下会塌缩到该区域（Proposition 2.1），并由此约束学得 Jacobian 的谱，这是轨迹训练引入系统性数值偏差、学到伪耗散的核心机制。
隐式龙格–库塔、配点法与平均向量场方法
配点法要求 ODE 残差在区间内若干配点上成立，等价于隐式 RK（IRK）格式；连续段 RK（csRK）把有限个阶段推广为连续分布。平均向量场方法（$a(\gamma)=\gamma, b=1$）是二阶、A-稳定的 csRK，对哈密顿系统保能量，稳定性函数 $R(z)=\frac{1+z/2}{1-z/2}$ 与隐式中点法相同。
VM 损失的偏差项恰好等于把观测端点代入该 csRK 更新后得到的残差，因此 VM 无需任何隐式求解就继承了 A-稳定格式的无阻尼偏置，这是其保结构性质的来源。
占据测度（occupation measure）
对流量 $x(t,x_0)$、初值 $x_0\sim\rho_0$，占据测度 $\mu=\frac{1}{T}\int_0^T x(t,\cdot)_\#\rho_0\,dt$ 度量轨迹在状态空间各区域停留的时间比例。速度回归的理论目标可改写为 $\mathbb{E}_{x\sim\mu}|f(x)-\hat{f}(x)|^2$。
它把时间平均的速度回归转化为空间平均的回归，给出真速度场是唯一极小者的变分刻画，也解释了为何模型只在训练轨迹覆盖的支撑上被确定、其余区域不受约束（Figure 7 的现象）。
Grönwall 稳定性估计与 Lax 等价视角
Grönwall 不等式给出双曲型误差传播界：轨迹误差被速度误差乘以稳定性常数控制，如 $L^2$-$L^2$ 估计 $\|x-\hat{x}\|_{L^2}\le C_{2,2}(\Lambda)\|f-\hat{f}\|_{L^2}$，其中 $C_{2,2}(\Lambda)=\sqrt{(e^{2\Lambda T}-2\Lambda T-1)/(2\Lambda)}$，$\Lambda=\mathrm{Lip}[\hat{f}]$。数值分析中的 Lax 等价定理讲“一致性+稳定性 $\Rightarrow$ 收敛”。
这套估计是全文的理论支柱：它论证了只需沿真实轨迹监督速度场（无需模拟）即可控制轨迹误差，并把数值方法的收敛理论平移到“学到的场 vs 真场”的学习场景。
流匹配（flow matching）与随机插值
流匹配通过回归沿插值曲线的速度场来免模拟训练连续归一化流：在两个端点样本间构造插值（可加噪声扰动，即随机插值），让网络 $\hat{f}$ 在插值点上回归插值的时间导数，从而学到搬运概率路径的速度场。
VM 在形式上就是一个流匹配目标，但端点耦合是确定性的（来自真实轨迹），学到的是物理速度场本身；理解这一联系与差异（沿插值扰动 vs 各向同性噪声）是把握 VM 创新机制的关键。
研究动机
用神经网络作为常微分方程（ODE）和半离散化偏微分方程（PDE）的代理模型时，主流做法是自回归加轨迹监督：训练中要数值积分模拟学到的动力学、用 BPTT/伴随方法反传梯度，代价随 rollout 长度增长，对细网格、长时域、大模型往往不可承受。作者进一步指出两个结构性缺陷：其一，在标量线性系统 $\dot{x}=\lambda x$ 的解析分析中（Figure 2），轨迹损失的梯度随视界 $T$ 指数级消失或爆炸——在不稳定区域 $\lambda>0$ 处，$\hat{\lambda}>\lambda$ 时梯度以 $e^{2(\hat{\lambda}-\lambda)T}$ 爆炸、$\hat{\lambda}<\lambda$ 时以 $\sim e^{-\lambda T}$ 消失，极小值锐度按 $2^T$ 发散，梯度下降局部收敛要求学习率按 $T^{-2}$ 缩放、保证收敛半径按 $T^{-1}$ 收缩；其二，离散时间下 rollout 损失在 $N_t\to\infty$ 时以 $N_t^{-1}$ 速率塌缩到数值格式的绝对稳定性区域 $A_{\Delta t}$，产生连续统个全局极小（Proposition 2.1，Figure 3），在非线性情形等价于把学得 Jacobian 的谱约束在显式 Euler 稳定区域内（Proposition 2.2）——即长 rollout 带来的“稳定”只是数值效应而非对真动力学的忠实。教师强制虽免模拟，但只有 $O(\Delta t)$ 的一阶偏差且存在 exposure bias；PDE 实验（Burgers、KdV）中 rollout 目标随 $L$ 增大还会训练失稳。
本文的目标是本文要回答：能否在不模拟学得动力学的条件下，通过直接回归速度场来训练，同时（i）控制轨迹误差——即给出轨迹目标与速度目标之间带稳定性常数的定量关系；（ii）保证连续时间近似性质（CTA），使学得模型在推理时可以用与训练不同的步长和任意 Runge–Kutta 格式模拟而不掉精度；（iii）不依赖真速度场 $f$ 或其 Jacobian $\partial_x f$（实践里都拿不到）；（iv）避免轨迹训练强加的显式 Euler 稳定区域偏差。为此需要一套速度式学习的理论框架，并据此设计一个可操作、每步代价与 TF 相当的经验目标——这就是 Velocity Matching（VM）。
与已有工作不同的是，速度监督并非全新想法：Zhou & Barati Farimani (2025) 经验性地展示了速度回归带来更平滑的优化地形；Hou et al. (2026) 把流匹配搬到算子学习，但依赖五次样条插值和带各向同性噪声的随机插值。真正的空白在于：轨迹式与速度式学习目标之间的关系缺乏系统刻画，速度式训练为何有效没有理论依据。本文的独特切入是：证明分段线性插值就足够（$L^2$ 目标对节点处不可导不敏感，目标速度就是一阶有限差分，成本与显式 Euler TF 一步相同），并识别出真正起作用的机制是“沿插值弦的扰动”（随机配点 $\tau\sim U[0,\Delta t]$），而非各向同性噪声——这一机制同时造就了 $O(\Delta t^2)$ 的高阶一致性、与 A-稳定隐式格式的对应，以及对 Jacobian 的隐式方向性匹配。
核心方法
直觉上，VM 把学习问题从“模拟之后轨迹对不对”改写为“任意时刻的瞬时速度对不对”：给定离散观测轨迹，用分段线性插值 $\tilde{x}(t)$ 连接相邻观测点，其导数 $v_k=\frac{x(t_{k+1})-x(t_k)}{\Delta t}$ 作为速度监督目标，让 $\hat{f}$ 在插值弦上随机采样的点 $t_k+\tau$（$\tau\sim U[0,\Delta t]$）处回归 $v_k$。每个样本只需一次 $\hat{f}$ 前向，无需积分器、无需 BPTT，代价与显式 Euler TF 相当。技术路线是一条环环相扣的理论链：（1）把连续时间学习重构为速度场回归，借助占据测度 $\mu$ 给出 $L_f[\hat{f}]=\mathbb{E}_{x\sim\mu}|f(x)-\hat{f}(x)|^2$ 的变分刻画，真场 $f$ 是唯一极小者（Proposition 3.1/3.2）；（2）用 Grönwall 型 $L^p$-$L^q$ 稳定性估计把轨迹误差用速度误差控制（Lemma 3.3/3.4），形似学习场景下的 Lax 等价定理，并推出 $L_x\le C_{2,2}^2(\Lambda)L_f$（Corollary 3.5）；（3）在 $W^{1,\infty}$ 范数下证明深度网络逼近流映射的万能逼近定理（Theorem 3.8）与连续时间近似性质（Theorem 3.9）；（4）对 VM 损失做偏差–方差分解，证明它以 $O(\Delta t^2)$ 逼近理论速度风险（Theorem 4.4），从而得到免模拟的轨迹误差上界（Corollary 4.5）和极小者的一致性 $\|\hat{f}^*-f\|^2\le 2(C^{VM}_1\Delta t^2+C^{VM}_2\Delta t^4)$（Corollary 4.6）。
核心创新是那个看似平凡的均匀随机偏移 $\tau\sim U[0,\Delta t]$：它把 TF 只在观测节点处的点态监督变成沿每个子区间连续体的监督，由此同时产生三重效应。第一，随机求积视角：VM 损失是对理论速度目标 $\ell_f$ 的 $O(\Delta t^2)$ 逼近，而 TF 只达 $O(\Delta t)$（Theorem 4.4），偏差项由弦估计控制在 $\Delta t^2$ 量级、方差项因被积函数对 $\tau$ Lipschitz 而为 $\Delta t^2$ 量级。第二，隐式积分视角：偏差项 $v_k-\mathbb{E}_\tau[\hat{f}_k(\tau)]$ 恰是把观测端点代入连续段 RK（stage 表 $a(\gamma,\sigma)=\gamma, b(\gamma)=1, c(\gamma)=\gamma$）更新的残差，该格式即二阶 A-稳定的平均向量场方法，对哈密顿系统保能量；VM 在前向中不做隐式求解，而是把“隐式格式该满足的残差”直接塞进优化目标——隐式方法被装进了训练过程而非前向传播。第三，隐式正则视角：偏差项首阶为 $\frac{\Delta t^2}{4}\left|(\partial_x f-\partial_x\hat{f})f\right|^2$，方差项为 $\frac{\Delta t^2}{12}\left|\partial_x\hat{f}\,f\right|^2$（Proposition 4.7），前者沿流方向隐式匹配真 Jacobian 的作用（不需要知道 $\partial_x f$，也不用 $O(n^2)$ 地组装 Jacobian），后者惩罚学得场沿流的变化（类似加速度罚），且都是 $\Delta t^2$ 阶、不破坏收敛阶。
方法步骤详情
完整流程见 Algorithm 1。输入：$N$ 条观测轨迹 $\{x(t_k;x_0^{(i)})\}_{k=0}^{N_t}$、步长 $\Delta t$、可学习场 $\hat{f}_\theta$、批大小 $B$、迭代数与学习率。每次迭代：（i）独立抽取 $B$ 个样本索引 $(i_j,k_j,\tau_j)\sim U\{1,N\}\times U\{0,N_t-1\}\times U[0,\Delta t]$；（ii）构造速度目标 $v_j=\frac{x(t_{k_j+1};x_0^{(i_j)})-x(t_{k_j};x_0^{(i_j)})}{\Delta t}$（一阶有限差分，即插值导数）；（iii）构造配点 $\tilde{t}_j=t_{k_j}+\tau_j$、$\tilde{x}_j=x(t_{k_j};x_0^{(i_j)})+\tau_j v_j$（沿弦推进）；（iv）计算损失 $L_{f,batch}^{VM}(\theta)=\frac{1}{B}\sum_{j=1}^B\left|v_j-\hat{f}_\theta(\tilde{t}_j,\tilde{x}_j)\right|^2$；（v）梯度步 $\theta\leftarrow\theta-\eta\nabla_\theta L$。理论上再叠加四层保证：Lemma 3.3 给出 $C_{\infty,\infty}=(e^{\Lambda T}-1)/\Lambda$ 等稳定性常数，把速度误差转成轨迹误差；Theorem 4.4 给出 $|\ell^{VM}_{f,N_t}-\ell_f|\le C^{VM}_1\Delta t^2+C^{VM}_2\Delta t^4$（常数仅依赖假设类界 $M$）；Corollary 4.5 得到免模拟轨迹界 $\ell_x\le C^2_{2,2}(M)(\ell^{VM}_{f,N_t}+C^{VM}_1\Delta t^2+C^{VM}_2\Delta t^4)$；Theorem 3.8/3.9 保证 GELU 网络（常数层数、$O(n\epsilon^{-(n+1)})$ 权重）能以任意精度逼近流映射，并在推理时可用任意 $p$ 阶 RK、任意 $\Delta t\le\Delta t^*$ 模拟而不损失精度。
技术新颖性
与 TF 相比：TF 只在观测节点评估 $\hat{f}$，只以 $O(\Delta t)$ 逼近理论速度目标，且其残差含显式 Euler 的局部截断误差，学到的往往是“补偿离散误差的 Euler 更新”而非真场；VM 沿插值连续体监督，二阶一致且与任何积分器无关。与两阶段梯度匹配（三次/五次样条、Bonnaffé–Coulson 神经插值、Hou et al. 五次样条+噪声随机插值）相比：VM 证明高阶样条并不必要，分段线性+随机配点即可达到高阶精度，且噪声注入不必是各向同性的——沿插值的扰动才是有效机制（Hou et al. 自己的实验也显示低噪声水平最优，与此分析吻合）。与流匹配相比：FM 端点通常独立耦合、学到的是搬运概率路径的场；VM 的耦合是轨迹给定的 Dirac 耦合，全区间共享单一速度场，逼近的是物理的 $f$。与 Jacobian matching（Park et al. 2024、Kang et al. 2026）相比：后者需要真 Jacobian、$O(n)$ 次导数评估和 $O(n^2)$ 内存；VM 的方向性 Jacobian 匹配是随机配点免费附带的产物。与 rollout 相比：VM 的偏差对应 A-稳定格式，不把学得 Jacobian 的谱压进显式 Euler 稳定区域，因此能学保守/混沌动力学。
实验结果
在统一的数据、架构（GELU 网络）、优化超参数和迭代预算下，与 TF、rollout $L=5$、$L=10$、随机 $L\in\{1..20\}$、课程 $L:1\to50$ 五种轨迹策略对比（3 个随机种子）。ODE 基准（Euler 刚体、Stuart–Landau、Müller–Brown，Figure 5/Table 3）：VM 与 TF 每步代价相当，而 rollout 代价随 $L$ 增长；所有轨迹策略在三指标上饱和到同一误差水平、与 $L$ 无关，VM 的验证误差则持续下降，测试轨迹误差最多比 rollout 低一个数量级（基线普遍 $\ge10^{-1}$），速度与 Jacobian 误差同步下降，其中 Jacobian 相对误差比基线低 3–9 倍——尽管训练中没有任何 Jacobian 信息。PDE 基准（Burgers、Fisher–KPP、KdV，状态维 1024，Figure 6/Table 4）：Burgers 与 KdV 的 rollout 随 $L$ 增大出现失稳，Fisher–KPP 随 $L$ 略有改善，VM 在三个方程上全程稳定优化并取得跨方程、跨种子的最低测试误差。连续时间近似（Figure 8）：VM 的测试误差随推理步长 $\Delta t$（$10^{-4}$ 到 $10$）先按格式阶 $\Delta t^p$ 衰减、与真场 $f$ 用同样 RK1/RK2/RK4 积分的误差曲线重合，随后饱和到与格式无关的 plateau 且不超过训练精度；而 rollout 模型只在训练步长+显式 Euler 处有尖锐极小，细化步长误差反而升高到远高于 VM 的平台，高阶格式也救不回来，证明它们过拟合了训练离散化。Euler 刚体（Figure 9 上）：VM 在两倍训练视界上保持能量 $H$ 与 Casimir $C=|x|^2$ 的小涨落，轨迹留在单位球面；TF 与 rollout 单调漂移，到视界末端约损失 15% 的 $H$ 和 10% 的 $C$。Lorenz 混沌（训练步长 $\Delta t\in[10^{-3},10^{-1}]$，Figure 9 下）：TF/rollout 学得的临界点 $C_-$ 复共轭特征值实部随 $\Delta t$ 增大越来越负，把 $C_-$ 变成稳定焦点、轨迹坍缩；VM 在大部分步长范围内准确恢复非负实部并复现吸引子。KS 方程（周期域长 64、256 网格、训练 $T=200$、测试 $T=800$，Figure 10）：VM 在训练视界内外都生成与真值定性相似的时空混沌，$(\partial_x u,\partial_x^2 u)$ 联合概率密度与参考吻合；TF 演化到低波数主导的规则 regime，密度向原点集中。
查看结构化数据
| 任务 | 指标 | 本文 | 基线 | 提升 |
|---|---|---|---|---|
| ODE 轨迹预测（Euler 刚体 / Stuart–Landau / Müller–Brown） | 相对 $L^2$ 测试轨迹误差 | VM：比所有 rollout 策略低至多一个数量级，持续下降无饱和 | TF 与 rollout（$L=5/10$/随机/课程）：饱和于 $\ge10^{-1}$ 的共同误差水平 | 约 $10\times$ |
| 速度场与 Jacobian 精度（沿参考轨迹） | 相对 $L^2$ 误差（$E_{vel}$、$E_{Jac}$，Jacobian 用 Frobenius 范数） | VM：Jacobian 测试误差比轨迹式策略低 3–9 倍（无需任何 Jacobian 信息） | TF / rollout 训练 | 3–9 倍 |
| 速度总体风险的离散化逼近 | 对观测步长 $\Delta t$ 的收敛阶 | VM：$O(\Delta t^2)$（Theorem 4.4） | TF：仅 $O(\Delta t)$ | 提高一阶 |
| 连续时间近似（任意步长/格式模拟） | 测试轨迹误差 vs $\Delta t$（RK1/RK2/RK4） | VM：与真场积分误差曲线重合，按 $\Delta t^p$ 衰减后饱和到与格式无关且不超过训练精度的 plateau | rollout：仅在训练步长+显式 Euler 处准确，细化步长误差升高，高阶格式无改善 | 定性翻转（可用 vs 不可用） |
| 保守系统不变量（Euler 刚体） | 能量 $H$ 与 Casimir $C=|x|^2$ 的漂移 | VM：两倍训练视界上仅小涨落，轨迹保持在单位球面 | TF/rollout：单调耗散，末端约失去 15% $H$、10% $C$ | 从 ~15%/~10% 漂移降到近零 |
| 混沌统计（Lorenz / Kuramoto–Sivashinsky） | 吸引子形态、临界点特征值实部、$(\partial_x u,\partial_x^2 u)$ 联合概率密度 | VM：复现吸引子、$C_-$ 特征值实部非负、KS 联合密度与参考吻合（测试至 $T=800$） | TF/rollout：轨迹坍缩到 $C_-$；KS 退化为低波数规则 regime、密度向原点集中 | 定性（成功 vs 失败） |
局限与改进
作者承认的局限：稳定性估计中的 Grönwall 型常数随视界 $T$ 和 Lipschitz 常数指数增长，长时域或大 $\mathrm{Lip}[\hat{f}]$ 时可能完全失去信息量；随机配点对不同类型非线性系统（振荡、保守、耗散、多尺度）以及含噪观测的效果仍是未探索的开放问题；第 4 节分析依赖 Assumption 3/4（场对时间 Lipschitz、$W^{1,\infty}$/$W^{2,\infty}$ 范数有界 $M$）；隐式 Jacobian 匹配是方向性的（只沿真实速度方向），弱于完整匹配，且偏差项的首阶展开要求学得场在观测点已 $O(\Delta t^2)$ 接近真场；方差项“惩罚加速度”的类比只是形式化的（formal），未给出严格定理；KS 等刚性问题中衰减时间尺度远快于 $\Delta t$ 的模式对任何目标都不可辨识。我自己的观察：全部理论假设无噪观测（脚注 2），而有限差分速度目标会把观测噪声放大 $1/\Delta t$ 倍，实际含噪数据的鲁棒性未验证；实验规模停留在 $n\le1024$ 的 ODE/一维 PDE，未在天气级别大模型上检验；方差项由批大小 $B$ 控制，小批次下梯度噪声与正则效应的权衡未系统研究；理论要求轨迹配对数据，对只有边际分布的场景不直接适用。
独立分析的弱点
第一，Grönwall 常数指数爆炸：$C_{2,2}(\Lambda)\sim e^{\Lambda T}$ 级别的界对混沌系统（Lyapunov 时间只有几个单位）几乎无约束力，理论保证与实际效果脱节；改进方向是利用收缩性、耗散性等结构导出多项式甚至均匀的稳定性估计。第二，速度目标是一阶有限差分：观测噪声被 $1/\Delta t$ 放大，且目标本身分段常值、在节点不连续，平滑性完全依赖网络的谱偏置去“猜”回来；改进方向是引入正则化插值（广义平滑）或对差分目标做去噪/鲁棒损失。第三，方向性 Jacobian 匹配只约束流方向：横穿流方向的谱信息（决定横向收缩/发散率）不受控，而对混沌统计（Lyapunov 谱、不变测度）恰恰需要全谱信息；改进方向是以随机方向导数低成本补充横向约束。第四，强依赖轨迹配对数据：只有边际分布 $\{\rho(t_k)\}$ 的场景（人口动力学、无轨迹视频）需要先推断轨迹；改进方向是与随机插值/群体演化建模结合。第五，基线覆盖面：对比的 rollout 全部用显式 Euler 更新，未对比高阶格式 rollout 或推理时一致的自回归基线；改进方向是补齐不同数值格式下的公平对照。第六，规模可扩展性：VM 每样本一次 $\hat{f}$ 前向虽然便宜，但大模型+长序列下批采样策略、与课程训练的组合仍未检验。
未来方向
作者明确提出三个方向：（1）为特定系统类别（振荡、保守、耗散、多尺度）设计自适应的配点分布 $\tau$ 的采样规律，弄清随机配点在哪些动力学上最有益；（2）利用动力学结构（如耗散性、守恒量）特化第 3.2 节的稳定性估计，得到随视界不退化的更锐利界；（3）从遍历理论角度把隐式 Jacobian 正则与混沌系统不变测度的统计保证联系起来（呼应 Park et al. 的 shadowing 分析）。基于本文成果还可延伸：含噪观测下的 VM 理论与去噪目标设计；把 VM 目标嵌入大规模自回归神经算子（transformer/GNN）训练管线以根治其离散化过拟合；与保结构架构（Hamiltonian NN、Lie–Poisson 网络）结合，用 A-稳定偏差进一步增强守恒性；扩展到随机微分方程和控制仿射系统；在模型约简的潜空间神经 ODE 中以 VM 训练潜动力学（与 Farenga et al. 2025 的 CTA 框架衔接）；以及把“隐式格式残差进目标”的思想推广到多步法或其他 A-稳定族。
复现评估
复现条件较好。代码已开源：github.com/farenga/velocity-matching；核心算法（Algorithm 1）只有几行——三个索引采样、一次差分、一次前向、一次梯度步——可以作为即插即用的目标函数替换 TF。基准全部是标准系统：4 个 ODE（Euler 刚体、Stuart–Landau 振子、Müller–Brown 势中的活性粒子、混沌 Lorenz）加 4 个一维 PDE（黏性 Burgers、Fisher–KPP、KdV、Kuramoto–Sivashinsky，周期域长 64、256 网格、训练 $T=200$/测试 $T=800$，半离散状态维 1024），数据生成、网络架构（GELU 前馈网络+归一化）、训练与评估协议（3 个种子、按验证误差选模型、测试视界为训练两倍）在附录 D 有完整描述。算力需求温和：VM 每样本仅一次 $\hat{f}$ 前向、代价与 TF 相当，ODE 实验维数很低，PDE 实验 1024 维也在单卡范围。理论复现难度较高但自成体系：证明分布在附录 A–C，需要数值分析（RK 格式、稳定性理论、csRK）与逼近论（Sobolev 范数下的深度网络逼近）背景；不过使用层面只需读懂损失定义即可落地。总体评估：代码级复现低到中等难度，理论级复现需要较扎实的数学功底。
论文图表
左：标量线性系统 $\dot{x}=\lambda x$ 的能量归一化轨迹损失 $\bar{\ell}_x(\hat{\lambda})$ 及其梯度在 $T=1$ 与 $T=10$、$\hat{\lambda}\in[-10,10]$、$\lambda\in[-5,5]$ 上的曲面；右：$T\to\infty$ 时梯度在 $(\hat{\lambda},\lambda)$ 平面上的渐近行为分区，标注各区域主阶（如 $e^{2(\hat{\lambda}-\lambda)T}$ 爆炸区、$\sim e^{-\lambda T}$ 消失区），不稳定情形极小值锐度按 $2^T$ 发散。
可视化轨迹目标的核心退化——梯度随视界指数消失/爆炸与非凸化，是放弃轨迹目标转向速度目标的第一性证据。
显式 Euler（$\Delta t=0.2$）下对真参数 $\lambda=-20+2i$ 学习 $\hat{\lambda}$ 的复平面损失地形，$T=0.2,2,20$（$N_t=1,10,100$）三列；斜线阴影标出稳定区域 $A_{\Delta t}$，随 $T$ 增大损失地形塌缩到该区域（速率 $N_t^{-1}$），区域内处处近乎全局极小。
直观呈现 Proposition 2.1：长 rollout 让损失对真动力学“失明”，最优解坍缩为由积分器和步长单独决定的稳定区域。